Ο Κωνσταντίνος Αργυρός έχει ιδιαίτερη σχέση με τα δύο αδέλφια του, τον Παύλο και την Κατερίνα, με τα οποία είναι τρίδυμα.
Μάλιστα, τα τρία αδέλφια ήταν τα πρώτα τρίδυμα στην Ελλάδα που γεννήθηκαν με τη μέθοδο της εξωσωματικής γονιμοποίησης και η γέννησή τους είχε γίνει πρώτο θέμα συζήτησης.
Για την ομοιότητα που έχει ο Κωνσταντίνος Αργυρός, τόσο στην εμφάνιση, όσο και στον χαρακτήρα, με τα αδέλφια του, ο αδερφός του Παύλος έχει υπογραμμίσει «με την Κατερίνα μοιάζω περισσότερο. Αυτό μου λένε όσοι μαθαίνουν ότι είμαστε τρίδυμα».
Για τον τρόπο που ήρθε στο κόσμο, ο Κωνσταντίνος Αργυρός ενημερώθηκε από πολύ νωρίς, επισημαίνοντας «δεν θυμάμαι ακριβώς ποια στιγμή ήταν, πάντως στην ηλικία που άρχισα να καταλαβαίνω, μας εξήγησαν οι γονείς μας πως ήρθαμε στον κόσμο. Άλλωστε, είναι κάτι πολύ φυσιολογικό και έχει βοηθήσει πολλές οικογένειες».
Τα δύο αδέλφια του τραγουδιστή έχουν παντρευτεί, οπότε ο τελευταίος που μένει τώρα να ανέβει τα σκαλιά της εκκλησίας είναι ο Κωνσταντίνος Αργυρός.
Ο Παύλος Αργυρός ενώθηκε με τα ιερά δεσμά του γάμου το καλοκαίρι του 2021, με την Άννα Μαρία Αναξαγόρου, η οποία στο παρελθόν είχε αναδειχθεί Miss Κύπρος. Είναι οικονομολόγος στο επάγγελμα, καθώς έχει σπουδάσει οικονομικά.
Επαγγελματικά δραστηριοποιείται μαζί με τον τραγουδιστή και όπως έχει σημειώσει ο Κωνσταντίνος Αργυρός για εκείνον «ο αδελφός μου είναι ένας άνθρωπος με ηρεμία στη ζωή του. Βλέποντας πώς αντιμετωπίζει τις καταστάσεις ηρεμώ κι εγώ, παρά τους έντονους ρυθμούς της καθημερινότητάς μου. Έχω ανάγκη την οπτική του. Ο καθένας μας γνωρίζει τι ζητά και καλό είναι αυτό που έχει ανάγκη να το επικοινωνεί. Μόνο με τη συζήτηση μπορούν να προχωράνε τα πράγματα. Όταν, μάλιστα, ενώνονται οι ιδέες, το αποτέλεσμα είναι πάντα καλύτερο. Συγχρόνως συνεργάζομαι και με την αδελφή μου, που ζει στο εξωτερικό, με την έννοια ότι τη συμβουλεύομαι τόσο για θέματα ζωής όσο και για καριέρας».